Cálculo Ejemplos

$x + \frac{27}{2 x^{2}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{27}{2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{27}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{27}{2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 + \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$1 + \frac{27}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$1 + \frac{27}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 + \frac{27}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{27}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$1 + \frac{27}{2} (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 2.9

Resta $4$ de $1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{- 3})$

Paso 2.10

Combina $- 2$ y $\frac{27}{2}$ .

$1 + \frac{- 2 \cdot 27}{2} x^{- 3}$

Paso 2.11

Multiplica $- 2$ por $27$ .

$1 + \frac{- 54}{2} x^{- 3}$

Paso 2.12

Combina $\frac{- 54}{2}$ y $x^{- 3}$ .

$1 + \frac{- 54 x^{- 3}}{2}$

Paso 2.13

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 54}{2 x^{3}}$

Paso 2.14

Cancela el factor común de $- 54$ y $2$ .

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Paso 2.14.1

Factoriza $2$ de $- 54$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 x^{3}}$

Paso 2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.14.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 (x^{3})}$

Paso 2.14.2.2

Cancela el factor común.

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 x^{3}}$

Paso 2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- 27}{x^{3}}$

Paso 2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{27}{x^{3}}$

Paso 3

Reordena los términos.

$- \frac{27}{x^{3}} + 1$