Cálculo Ejemplos

$a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x = 12$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x) = \frac{d}{d x} (12)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [a x^{5}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x^{5}$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$a (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Paso 2.2.3

Mueve $5$ a la izquierda de $a$ .

$5 a x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Paso 2.3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2} x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.4.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y y'))$

Paso 2.4.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + x (2 y y'))$

Paso 2.4.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + 2 x y y')$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - (2 x y y')$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y'$

Paso 3

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $5 x^{4} a$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a$

Paso 5.1.3

Resta $3 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} y' - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Paso 5.2

Factoriza $x y'$ de $x^{3} y' - 2 x y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x y'$ de $x^{3} y'$ .

$x y' x^{2} - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x y'$ de $- 2 x y y'$ .

$x y' x^{2} + x y' (- 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' x^{2} + x y' (- 2 y)$ .

$x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ por $x (x^{2} - 2 y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ por $x (x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{2} - 2 y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- 5 x^{4} a$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{(5) x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x^{2} - 2 y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{(x^{2} - 2 y) x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(x^{2} - 2 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.5.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 5.3.3.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{1 + 3} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.5.3

Suma $1$ y $3$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.3.6

Para escribir $- \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.3.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x^{2} - 2 y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.7.1

Multiplica $\frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{(x^{2} - 2 y) x}$

Paso 5.3.3.7.2

Reordena los factores de $(x^{2} - 2 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3.9

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.9.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 (x \cdot x) y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 5.3.3.9.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$