Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2}$ , $[0, 3]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 3]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} x^{2} d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $3$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.3.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Paso 6.2.5

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 + 0 (\frac{1}{3}))$

Paso 6.2.6

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 + 0)$

Paso 6.2.7

Suma $9$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9)$

Paso 7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 9$

Paso 7.2

Suma $3$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 9$

Paso 8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (3))$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3)$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = 3$

Paso 9