Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.6

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.7.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.8.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.8.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.8.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.8.1.4

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.8.1.5

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.8.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.8.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Paso 1.3.5.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.5.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \cdot 1}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $6 x^{2} + 10 x - 10$ y $2 x + 2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 10 x - 10}{2 x + 2}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (5 x) - 10}{2 x + 2}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) - 10}{2 x + 2}$

Paso 1.4.4

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 \cdot - 5}{2 x + 2}$

Paso 1.4.5

Factoriza $2$ de $2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 (- 5)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 x + 2}$

Paso 1.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.6.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2}$

Paso 1.4.6.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2 (1)}$

Paso 1.4.6.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

Paso 1.4.6.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

Paso 1.4.6.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 5 x - 5}{x + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 5 x - 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 2.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Paso 4.1.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{0 + 0 - 5}{0 + 1}$

Paso 4.1.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 - 5}{0 + 1}$

Paso 4.1.6

Resta $5$ de $0$ .

$\frac{- 5}{0 + 1}$

Paso 4.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{- 5}{1}$

Paso 4.3

Divide $- 5$ por $1$ .

$- 5$