Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + x + 2$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{1}{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Paso 3.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Paso 3.2.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Paso 3.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2$

Paso 3.2.3

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 2$

Paso 3.2.3.3

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.2.3.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 8}{4}$

Paso 3.2.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 8}{4}$

Paso 3.2.5.3

Suma $- 1$ y $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{7}{4}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

Paso 5