Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}$

Paso 1

Reescribe $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x^{3}$ . Entonces $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Paso 3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = u_{1} + 1$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = u_{1} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} + 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 8

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Paso 8.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$