Cálculo Ejemplos

$\int 4 x e^{2 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = 4 x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$4 x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$4 x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Paso 2.2

Combina $4$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x \frac{4 e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Paso 2.3

Combina $x$ y $\frac{4 e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x (4 e^{2 x})}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $2$ de $x (4 e^{2 x})$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 (1)} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 \cdot 1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (2 e^{2 x})}{1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Paso 2.4.2.4

Divide $x (2 e^{2 x})$ por $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2} \cdot 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2} \cdot 4$ fuera de la integral.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{2 x} d x)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{2 x} d x)$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{2 x} d x)$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2}{1} \int e^{2 x} d x)$

Paso 4.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - (2 \int e^{2 x} d x)$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{2 x} d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x (2 e^{2 x}) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Paso 8.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int e^{u} d u$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$

Paso 10

Reescribe $x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$ como $2 x e^{2 x} - e^{u} + C$ .

$2 x e^{2 x} - e^{u} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$