Cálculo Ejemplos

$y = x y^{2} + 4 x - y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} + 4 x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

Paso 5.2.2

Resta $y'$ de $- y'$ .

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

Paso 5.3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

Paso 5.4

Factoriza $2 y'$ de $2 x y y' - 2 y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $2 y'$ de $2 x y y'$ .

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

Paso 5.4.2

Factoriza $2 y'$ de $- 2 y'$ .

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

Paso 5.4.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

Paso 5.5

Divide cada término en $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ por $2 (x y - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ por $2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $x y - 1$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 5.5.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

Paso 5.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

Paso 5.5.3.2

Para escribir $- \frac{2}{x y - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.5.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 (x y - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.5.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{x y - 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

Paso 5.5.3.3.2

Reordena los factores de $(x y - 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.6

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.7

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2}) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.3.9.1

Reescribe $- (y^{2} + 4)$ como $- 1 (y^{2} + 4)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Paso 5.5.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$