Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} + 4 x^{2} + 5}{8 x^{3} + 7 x - 3}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.1.1.2

Divide $6$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{4 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $8$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{8 + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{8 + \frac{x \cdot 7}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{8 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{8 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{8 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{8 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{6 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 + 4 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{6 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{6 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 8 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{6 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{8 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 6.3

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{8 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{6 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{8 + 7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}$

Paso 8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{8 + 7 \cdot 0 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{6 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{8 + 7 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{6 + 0 + 5 \cdot 0}{8 + 7 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Paso 10.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{6 + 0 + 0}{8 + 7 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Paso 10.1.3

Suma $6 + 0$ y $0$ .

$\frac{6 + 0}{8 + 7 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Paso 10.1.4

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{6}{8 + 7 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{6}{8 + 0 - 3 \cdot 0}$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{6}{8 + 0 + 0}$

Paso 10.2.3

Suma $8 + 0$ y $0$ .

$\frac{6}{8 + 0}$

Paso 10.2.4

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{6}{8}$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $6$ y $8$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{8}$

Paso 10.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.75$