Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{- x}}{x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{- x}$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{(x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} \cdot - 1 - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $(x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot ((x + 1) e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Reescribe $- 1 (x + 1)$ como $- (x + 1)$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- x - 1 \cdot 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- x e^{- x} - 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{- x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Resta $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$\frac{- x e^{- x} - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{- e^{- x} x - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Factoriza $e^{- x}$ de $- e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- e^{- x} x$ .

$\frac{e^{- x} (- x) - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- 2 e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2$ .

$\frac{e^{- x} (- x - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{e^{- x} (- (x) - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.7

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x) - 1 (2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.9

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- x} (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$