Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} d x$

Paso 1

Divide $x^{2} - 1$ por $x + 1$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	-	$1$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$
								$0$

Paso 1.11

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$\int_{1}^{2} x - 1 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ y $- x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} - x$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.5

Resta $2$ de $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.7

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1)$

Paso 5.2.2.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Paso 5.2.2.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Paso 5.2.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 - \frac{1 - 2}{2}$

Paso 5.2.2.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 - \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 5.2.2.15

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.16

Suma $0$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$

Paso 7