Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}} d x$

Paso 4

Sea $u = 2 x^{2} + 3$ . Entonces $d u = 4 x d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u = 2 x^{2} + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$4 x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Paso 5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 7.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reescribe $\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$\frac{2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$