Cálculo Ejemplos

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 10^{x}$ y $g (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 9$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} - 4 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 9]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $10$ .

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 9]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} - 4 x^{2} + 9$ .

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 9]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.6

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x + 0)$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Suma $3 x^{2} - 8 x$ y $0$ .

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x)$

Paso 2.7.2

Reordena los factores de $10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x)$ .

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} (3 x^{2} - 8 x) \ln (10)$