Cálculo Ejemplos

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 1

Escribe $x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ como una función.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Paso 4

Sea $x = 3 \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \tan (t)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.2

Factoriza $9$ de $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Factoriza $9$ de $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.2.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.2.3

Factoriza $9$ de $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.4

Reescribe $9 \sec^{2} (t)$ como ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $3$ de $3 \tan (t)$ .

$\int {(3 (\tan (t)))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.2.2

Aplica la regla del producto a $3 (\tan (t))$ .

$\int 3^{3} \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\int 27 \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.2.4

Multiplica $3$ por $27$ .

$\int 81 \tan^{3} (t) \sec (t) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.2.5

Multiplica $3$ por $81$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 5.2.6

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.1

Mueve $\sec^{2} (t)$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Paso 5.2.6.2

Multiplica $\sec^{2} (t)$ por $\sec (t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.2.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Paso 5.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 243 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Paso 5.2.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 6

Dado que $243$ es constante con respecto a $t$ , mueve $243$ fuera de la integral.

$243 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 7

Factoriza $\tan^{2} (t)$ .

$243 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 8

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$243 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 9

Sea $u = \sec (t)$ . Entonces $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Deja $u = \sec (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Diferencia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Paso 9.1.2

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$243 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Paso 10

Multiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$243 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reescribe $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$243 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 11.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$243 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 11.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$243 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$243 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$243 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Paso 15

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 16

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 16.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Paso 16.2

Simplifica.

$243 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (t)$ .

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{3})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$F (x) =$ $243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$