Cálculo Ejemplos

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2}$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $p$ sea igual a $1$ .

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2} = \sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} - \sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2}$ .

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Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} = - 9 \sum_{p = 1}^{8} p + \sum_{p = 1}^{8} p^{2}$

Paso 2.2

Evalúa $9 \sum_{p = 1}^{8} p$ .

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Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 9) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Suma $8$ y $1$ .

$- 9 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $8$ por $9$ .

$- 9 (\frac{72}{2})$

Paso 2.2.3.3

Divide $72$ por $2$ .

$- 9 \cdot 36$

Paso 2.2.3.4

Multiplica $- 9$ por $36$ .

$- 324$

Paso 2.3

Evalúa $\sum_{p = 1}^{8} p^{2}$ .

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Paso 2.3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2.3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Paso 2.3.3.2.2

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Paso 2.3.3.2.4

Suma $16$ y $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Paso 2.3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.3.1

Multiplica $36$ por $17$ .

$\frac{612}{3}$

Paso 2.3.3.3.2

Divide $612$ por $3$ .

$204$

Paso 2.4

Suma los resultados de las sumas.

$- 324 + 204$

Paso 2.5

Suma $- 324$ y $204$ .

$- 120$

Paso 3

Evalúa $\sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $p$ .

$- 9 \cdot 1 + 1^{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 9 + 1^{2}$

Paso 3.2.2

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$- 9 + 1$

Paso 3.2.3

Suma $- 9$ y $1$ .

$- 8$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$- 120 + 8$

Paso 5

Suma $- 120$ y $8$ .

$- 112$