Cálculo Ejemplos

$\int_{e}^{e^{e}} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Paso 1.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{e})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $e$ fuera del exponente.

$u_{upper} = e \ln (e)$

Paso 1.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{upper} = e \cdot 1$

Paso 1.5.3

Multiplica $e$ por $1$ .

$u_{upper} = e$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{e}$

Paso 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $e$ y en $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |)$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{e}{| 1 |})$

Paso 5.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{e}{1})$

Paso 5.3

Divide $e$ por $1$ .

$\ln (e)$

Paso 6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$1$