Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - x + 7}{\sqrt{9 x^{6} + 1}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 2.2.2

Divide $9$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 4

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 6.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{6}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 8.1.2

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{1 + 0 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 8.1.3

Suma $1 + 0$ y $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 8.1.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9}}$

Paso 8.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 8.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$