Cálculo Ejemplos

$\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Paso 1

Escribe $\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ como una función.

$f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Paso 4

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Paso 5

Sea $u = 1 - x^{3}$ . Entonces $d u = - 3 x^{2} d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 1 - x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 5.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Paso 5.1.4

Resta $3 x^{2}$ de $0$ .

$- 3 x^{2}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$9 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Paso 6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$9 \int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$9 (- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u)$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- 9 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 9$ .

$\frac{- 9}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.1.2

Cancela el factor común de $- 9$ y $3$ .

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Paso 10.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.1.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 10.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 10.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 10.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 10.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 10.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Reescribe $- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 12.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{3}$ .

$- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$