Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 2 x y + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$6 x x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$6 x x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + 2 y$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x x' + 2 x + 2 (y x') + 2 y$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 x x' + 2 x + 2 y x' + 2 y$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x x' + 2 y x' + 2 y = - 2 x$

Paso 5.1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x x' + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Paso 5.2

Factoriza $2 x'$ de $6 x x' + 2 y x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 x'$ de $6 x x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 x'$ de $2 y x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 x' y = - 2 x - 2 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 x'$ de $2 x' (3 x) + 2 x' y$ .

$2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ por $2 (3 x + y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ por $2 (3 x + y)$ .

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $3 x + y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{- x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- y}{3 x + y}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} - \frac{y}{3 x + y}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- x - y}{3 x + y}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$x' = \frac{- (x) - y}{3 x + y}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$x' = \frac{- (x) - (y)}{3 x + y}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (y)$ .

$x' = \frac{- (x + y)}{3 x + y}$

Paso 5.3.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.2.5.1

Reescribe $- (x + y)$ como $- 1 (x + y)$ .

$x' = \frac{- 1 (x + y)}{3 x + y}$

Paso 5.3.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x + y}{3 x + y}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x + y}{3 x + y}$