Cálculo Ejemplos

$\frac{1 + \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x}{1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 4.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $x$ de $x - 2 (1 + \ln (x)) x$ .

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Paso 4.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Paso 4.4.2.3

Factoriza $x$ de $- 2 (1 + \ln (x)) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Paso 4.4.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 2 (1 + \ln (x))}{x^{3}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - 2 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 6.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 6.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 - \ln (x^{2})$ .

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Paso 6.3.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 6.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Paso 6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (\ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Paso 6.3.4

Reescribe $- 1 (1 + \ln (x^{2}))$ como $- (1 + \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$