Cálculo Ejemplos

$(1 - x) y^{1} = y^{2}$

Paso 1

Simplifica.

$(1 - x) y = y^{2}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} ((1 - x) y) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = 1 - x$ y $g (y) = y$ .

$(1 - x) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 - x) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Paso 3.2.2

Multiplica $1 - x$ por $1$ .

$1 - x + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$1 - x + y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x])$

Paso 3.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 - x + y (0 + \frac{d}{d y} [- x])$

Paso 3.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- x]$ .

$1 - x + y \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 3.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$1 - x + y (- \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$1 - x + y (- x')$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$- y x' - x + 1$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y x' - x + 1 = 2 y$

Paso 6

Resuelve $x'$

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Paso 6.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$- y x' + 1 = 2 y + x$

Paso 6.1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y x' = 2 y + x - 1$

Paso 6.2

Divide cada término en $- y x' = 2 y + x - 1$ por $- y$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $- y x' = 2 y + x - 1$ por $- y$ .

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Paso 6.2.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Paso 6.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{2}{- 1} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Paso 6.2.3.1.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$x' = - 1 \cdot 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x' = - 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Paso 6.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{- 1}{- y}$

Paso 6.2.3.1.4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$