Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{5}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{8} x$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $\frac{5}{8}$ por $1$ .

$\frac{5}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Paso 1.3

Como $\frac{2}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{9}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- \frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{6} x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{5}{8} + 0 + 3 (\frac{1}{6}) x^{- 4}$

Paso 1.4.4

Combina $3$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6} x^{- 4}$

Paso 1.4.5

Combina $\frac{3}{6}$ y $x^{- 4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 x^{- 4}}{6}$

Paso 1.4.6

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6 x^{4}}$

Paso 1.4.7

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 1.4.7.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{6 x^{4}}$

Paso 1.4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.7.2.1

Factoriza $3$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{3 (2 x^{4})}$

Paso 1.4.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{4})}$

Paso 1.4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{1}{2 x^{4}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $\frac{5}{8}$ y $0$ .

$\frac{5}{8} + \frac{1}{2 x^{4}}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.8

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.9

Combina $\frac{- 4}{2}$ y $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.10

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.11

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.2.11.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.11.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $\frac{5}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{8}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2}{x^{5}} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $- \frac{2}{x^{5}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{5}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 5$ .

$- 2 (- 5 x^{- 6})$

Paso 3.4

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$10 x^{- 6}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 3.5.2

Combina $10$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = \frac{10}{x^{6}}$