Cálculo Ejemplos

$2 x^{\frac{1}{5}} + 3$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{\frac{1}{5}} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{5}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.6.2

Resta $5$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.8

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.9

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.10

Mueve $x^{- \frac{4}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Paso 1.3.2

Suma $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ como ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5} \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Combina $\frac{4}{5}$ y $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}}]$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{5}}]$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{5}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

Paso 2.7.2

Resta $5$ de $- 4$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{9}{5}}$ y $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ .

$- \frac{2 (x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4)}{5 \cdot 5}$

Paso 2.11

Multiplica.

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Paso 2.11.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{5 \cdot 5}$

Paso 2.11.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

Paso 2.11.3

Mueve $x^{- \frac{9}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{25 x^{\frac{9}{5}}}$