Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{2 x + 2}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2}}{2 x + 2}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{2 x + 2} d x$

Paso 4

Divide $x^{2}$ por $2 x + 2$ .

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Paso 4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Paso 4.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Paso 4.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Paso 4.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Paso 4.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 1$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Paso 4.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Paso 4.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x + 2} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{x}{2} d x + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Paso 9

Sea $u = 2 x + 2$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 9.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 9.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 9.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 10.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 2$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$