Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$

Paso 2

Expande $\ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$ ; para ello, mueve $x e^{x}$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x e^{x} \ln (x^{3} + 1)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x e^{x}$ y $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} + 1$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.4

Diferencia.

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Paso 3.2.4.1

Combina $\frac{1}{x^{3} + 1}$ y $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x^{3} + 1} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.4.2

Combina $\frac{x}{x^{3} + 1}$ y $e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.4.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.4.6

Combina fracciones.

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Paso 3.2.4.6.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.4.6.2

Combina $3$ y $\frac{x e^{x}}{x^{3} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.4.6.3

Combina $\frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1}$ y $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x}) x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.2.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x^{1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2 + 1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{3} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.8

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.2.8.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 3.2.8.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$

Paso 3.2.9

Para escribir $\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{3} + 1}{x^{3} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \frac{\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11

Simplifica.

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Paso 3.2.11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.11.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.11.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + (\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.1.2

Expande $(\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.11.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.11.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.11.1.1.3.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.1.3.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 3.2.11.1.1.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x^{1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3 + 1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.1.3.1.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.1.3.2

Multiplica $\ln (x^{3} + 1)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \cdot \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.1.3.3

Multiplica $\ln (x^{3} + 1)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.1.2

Reordena los factores en $3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Paso 3.2.11.2

Reordena los términos.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1^{3}} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Paso 5.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Paso 5.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Paso 5.2

Combina $\frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ y ${(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$ .

$y' = \frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Paso 5.3

Reordena los factores en $\frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ .

$y' = \frac{{(x^{3} + 1)}^{x e^{x}} (3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1))}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$