Cálculo Ejemplos

$e^{x} (1 + x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 1 + x$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + (1 + x) e^{x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} + 1 e^{x} + x e^{x}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} + e^{x} + x e^{x}$

Paso 4.2.2

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$2 e^{x} + x e^{x}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 4.4

Reordena los factores en $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$