Cálculo Ejemplos

$y = 10^{x^{2} - 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (10^{x^{2} - 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 10^{x}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $10$ .

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x + 0)$

Paso 3.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Reordena los factores de $10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x)$ .

$2 \cdot 10^{x^{2} - 1} x \ln (10)$

Paso 3.3.2

Reordena los factores en $2 \cdot 10^{x^{2} - 1} x \ln (10)$ .

$2 x \cdot 10^{x^{2} - 1} \ln (10)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 x \cdot (10^{x^{2} - 1} \ln (10))$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot (10^{x^{2} - 1} \ln (10))$