Cálculo Ejemplos

$2 x^{10} - x^{6} + 5 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{10} - x^{6} + 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{10}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{10}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

$2 (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $10$ por $2$ .

$20 x^{9} + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$20 x^{9} - \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$20 x^{9} - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$20 x^{9} - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{9} - 6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$20 x^{9} - 6 x^{5} + 5 (2 x)$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (x) = 20 x^{9} - 6 x^{5} + 10 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{9} - 6 x^{5} + 10 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{9}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{9}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$20 (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $9$ por $20$ .

$180 x^{8} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$180 x^{8} - 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$180 x^{8} - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $5$ por $- 6$ .

$180 x^{8} - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 x^{8} - 30 x^{4} + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$180 x^{8} - 30 x^{4} + 10 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 180 x^{8} - 30 x^{4} + 10$