Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{\sqrt{2 x^{2} - x + 1}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{- 1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

Paso 7.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 + 0 + 0}}$

Paso 7.2.2

Suma $2 + 0$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 + 0}}$

Paso 7.2.3

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 7.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 7.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 7.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 7.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 7.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$