Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\int \frac{x^{3}}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{x^{3}}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Paso 5

Reordena $x$ y $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{x^{3}}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Paso 9.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Paso 9.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Paso 9.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Paso 10

Suma $x$ y $x$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 11

Divide $x^{3}$ por $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Paso 11.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 11.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 11.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Paso 11.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Paso 11.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Paso 11.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Paso 11.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Paso 11.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x^{2}$	-	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$2$

Paso 11.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Paso 11.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Paso 11.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x - 2 + \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 14

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 15

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 15.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 15.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 15.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Paso 15.1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 15.1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Paso 15.1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 15.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 15.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 15.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 15.1.5

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 15.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 15.1.5.2

Divide $3 x + 2$ por $1$ .

$3 x + 2 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 15.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.6.1

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 15.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$3 x + 2 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 15.1.6.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 15.1.6.2

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ y $x + 1$ .

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Paso 15.1.6.2.1

Factoriza $x + 1$ de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Paso 15.1.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.1.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Paso 15.1.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Paso 15.1.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x + 2 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Paso 15.1.6.2.2.4

Divide $B (x + 1)$ por $1$ .

$3 x + 2 = A + B (x + 1)$

Paso 15.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 2 = A + B x + B \cdot 1$

Paso 15.1.6.4

Multiplica $B$ por $1$ .

$3 x + 2 = A + B x + B$

Paso 15.1.7

Reordena $A$ y $B x$ .

$3 x + 2 = B x + A + B$

Paso 15.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 15.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = B$

Paso 15.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B$

Paso 15.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$3 = B$

$2 = A + B$

$3 = B$

$2 = A + B$

Paso 15.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 15.3.1

Reescribe la ecuación como $B = 3$ .

$B = 3$

$2 = A + B$

Paso 15.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 15.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $2 = A + B$ por $3$ .

$2 = A + 3$

$B = 3$

Paso 15.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

Paso 15.3.3

Resuelve $A$ en $2 = A + 3$ .

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Paso 15.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A + 3 = 2$ .

$A + 3 = 2$

$B = 3$

Paso 15.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 15.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 2 - 3$

$B = 3$

Paso 15.3.3.2.2

Resta $3$ de $2$ .

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

Paso 15.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = - 1 B = 3$

Paso 15.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - 1, B = 3$

Paso 15.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1}$

Paso 15.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1} d x$

Paso 16

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Paso 17

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Paso 18

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 18.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 18.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 18.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 18.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 18.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 18.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 18.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Paso 19

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 19.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Paso 19.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 19.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Paso 19.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Paso 20

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Paso 21

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 22

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 22.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 22.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 22.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 22.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 22.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 22.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 22.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 23

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 24

Simplifica.

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 25

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 25.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 25.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$

Paso 26

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$