Cálculo Ejemplos

$y' = x + y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$\frac{d y}{d x} = x + y$

Paso 2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - y = x$

Paso 3

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C}$

Paso 3.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 4

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x$

Paso 4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$

Paso 4.3

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x e^{- x}$

Paso 5

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x e^{- x}$

Paso 6

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x e^{- x} d x$

Paso 7

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} d x$

Paso 8

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Paso 8.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Paso 8.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Paso 8.3.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Paso 8.4

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 8.4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 8.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 8.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Paso 8.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Paso 8.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Paso 8.7

Reescribe $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ como $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{u} + C$

Paso 8.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$

Paso 9

Divide cada término en $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Divide cada término en $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 9.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 9.3.1.1.2

Divide $- x$ por $1$ .

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 9.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 9.3.1.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$y = - x - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$