Cálculo Ejemplos

$\int 8 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Paso 1

Dado que $8$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Paso 2

Sea $u_{1} = \sin (θ)$ . Entonces $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ , de modo que $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = \sin (θ)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$8 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 3

Factoriza $\cos^{4} (u_{1})$ .

$8 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$8 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4.2

Reescribe ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$8 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (u_{1})$ como $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$8 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$8 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Paso 7

Expande ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

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Paso 7.1

Reescribe ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ como $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$8 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Paso 7.5

Mueve ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Paso 7.6

Mueve ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$8 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.11

Multiplica ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Paso 7.13

Suma $2$ y $2$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Paso 7.14

Resta ${u_{2}}^{2}$ de $- {u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Paso 7.15

Reordena $- 2 {u_{2}}^{2}$ y ${u_{2}}^{4}$ .

$8 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.16

Mueve $1$ .

$8 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$8 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{4}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Paso 10

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Paso 13.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y ${u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Paso 13.2

Simplifica.

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (θ)$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$8 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$