Cálculo Ejemplos

${(\frac{1 - x}{x})}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(\frac{1 - x}{x})}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(\frac{1 - x}{x})}^{2} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1 - x}{x}$ .

$\int \frac{{(1 - x)}^{2}}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(1 - x)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 - x)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int {(1 - x)}^{2} x^{- 2} d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = 1 - x$ . Entonces $d u_{1} = - d x$ , de modo que $- d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 5.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 5.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int - {u_{1}}^{2} {(- u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int {u_{1}}^{2} {(- u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Paso 7

Sea $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Entonces $d u_{2} = - d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $- u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- u_{1} + 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

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Paso 7.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$- 1 + 0$

Paso 7.1.4.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$- 1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \int - {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- - \int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 9.2

Multiplica $\int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$ por $1$ .

$\int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 10

Sea $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Entonces $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Paso 10.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\int {(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Paso 11.2

Combina $\frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2}$ y ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Paso 11.3

Mueve ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Paso 11.4

Reescribe ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ como $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Paso 13

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{3}}$ como ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Paso 13.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ como ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Paso 13.3

Mueve ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Paso 13.4

Multiplica los exponentes en ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 13.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Paso 13.4.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 13.4.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Paso 13.4.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Paso 13.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Reescribe ${(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ como $(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.8

Mueve ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.9

Mueve ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.11

Multiplica ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.14

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.15.1

Cancela el factor común.

Paso 14.15.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.16

Simplifica.

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.17

Eleva $u_{3}$ a la potencia de $1$ .

Paso 14.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.19

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.21

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.22

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.23

Factoriza el negativo.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.24

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.26

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.27

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.27.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.27.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.27.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.27.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.27.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.27.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.28

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.29

Factoriza el negativo.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.30

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.31

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.32

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.33

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 14.33.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.33.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.33.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.33.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.33.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.33.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.34

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.35

Multiplica ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.36

Resta ${u_{3}}^{- 1}$ de $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 14.37

Reordena ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ y $- 2 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 16

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int - 2 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Paso 17

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- 2 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Paso 18

La integral de ${u_{3}}^{- 1}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Paso 19

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{3}$ es $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Paso 20

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $u_{3}$ es $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C)$

Paso 21

Simplifica.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| u_{3} |) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 22

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 22.1

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 22.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- u_{1} + 1)}^{2} |) + 2 {({(- u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 22.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 - x$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- (1 - x) + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23

Simplifica.

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Paso 23.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 23.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 - - x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.1.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 23.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 + 1 x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 + x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.2

Combina los términos opuestos en $- 1 + x + 1$ .

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Paso 23.1.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.3

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

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Paso 23.1.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln ({(x + 0)}^{2}) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.4

Multiplica los exponentes en ${({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 23.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 23.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 - - x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.5.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 23.1.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 + 1 x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.5.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 + x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.6

Combina los términos opuestos en $- 1 + x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.6.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(x + 0)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.6.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.7

Simplifica.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 23.1.8

Simplifica el denominador.

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Paso 23.1.8.1

Multiplica los exponentes en ${({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.8.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Paso 23.1.8.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 23.1.8.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Paso 23.1.8.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{1}}) + C$

Paso 23.1.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 23.1.8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{1}}) + C$

Paso 23.1.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 - - x + 1)}^{1}}) + C$

Paso 23.1.8.2.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 23.1.8.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 + 1 x + 1)}^{1}}) + C$

Paso 23.1.8.2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 + x + 1)}^{1}}) + C$

Paso 23.1.8.3

Combina los términos opuestos en $- 1 + x + 1$ .

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Paso 23.1.8.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(x + 0)}^{1}}) + C$

Paso 23.1.8.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{1}}) + C$

Paso 23.1.8.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x}) + C$

Paso 23.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Paso 23.3

Simplifica.

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Paso 23.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Paso 23.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Paso 23.3.1.3

Reescribe la expresión.

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Paso 23.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Paso 23.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Paso 23.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Paso 23.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 23.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{x}$ al numerador.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C$

Paso 23.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C$

Paso 23.3.3.3

Cancela el factor común.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C$

Paso 23.3.3.4

Reescribe la expresión.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{- 1}{x} + C$

Paso 23.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \ln (x^{2}) + x - \frac{1}{x} + C$

Paso 24

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \ln (x^{2}) + x - \frac{1}{x} + C$