Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} x^{- 2} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{2}^{t}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- x^{- 1}$ en $t$ y en $2$ .

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 2^{- 1}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + \frac{1}{2}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Paso 5.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{t}$ se acerca a $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Paso 5.4

Evalúa el límite.

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Paso 5.4.1

Evalúa el límite de $\frac{1}{2}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Paso 5.4.2

Suma $0$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$