Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \frac{- 2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{e} - \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{e} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- (2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x)$

Paso 4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 2}$ .

$- 2 (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Paso 6.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Paso 6.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Paso 6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Paso 6.6

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 8.1.2

Multiplica $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 8.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Paso 8.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Combina $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ y $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Paso 10.2

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Evalúa $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ en $e$ y en $1$ .

$- 2 ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

Paso 10.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Divide $\ln (1)$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

Paso 10.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

Paso 10.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

Paso 10.2.2.4

Para escribir $- (- \ln (1) - 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

Paso 10.2.2.5

Combina $- (- \ln (1) - 1)$ y $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Paso 10.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Paso 10.2.2.7

Para escribir $- e^{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Paso 10.2.2.8

Combina $- e^{- 1}$ y $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Paso 10.2.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 10.2.2.10

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$- 2 \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 10.2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 10.2.2.12

Resta $1$ de $1$ .

$- 2 \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 10.2.2.13

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 2 \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 10.2.2.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 10.2.2.15

Combina $- 2$ y $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ .

$\frac{- 2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Paso 10.2.2.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Paso 11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 \cdot 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Paso 11.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- 0 - 1) e)}{e}$

Paso 11.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (0 - 1) e)}{e}$

Paso 11.4

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - - 1 e)}{e}$

Paso 11.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + 1 e)}{e}$

Paso 11.6

Multiplica $e$ por $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + e)}{e}$

Paso 11.7

Resta $1$ de $- 1$ .

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Forma decimal:

$- 0.52848223 \dots$