Cálculo Ejemplos

$\int \frac{7 x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

Paso 1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int \frac{x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x - 3}$

Paso 2.1.2

$\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 2.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 2.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{A (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.6.1.2

Divide $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$x = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.6.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = A x + 2 A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.1.6.4.2

Divide $(B) (2 x - 3)$ por $1$ .

$x = A x + 2 A + (B) (2 x - 3)$

Paso 2.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x + 2 A + B (2 x) + B \cdot - 3$

Paso 2.1.6.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = A x + 2 A + 2 B x + B \cdot - 3$

Paso 2.1.6.7

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B$ .

$x = A x + 2 A + 2 B x - 3 B$

Paso 2.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.7.1

Mueve $B$ .

$x = A x + 2 A + 2 x B - 3 B$

Paso 2.1.7.2

Mueve $2 A$ .

$x = A x + 2 x B + 2 A - 3 B$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + 2 B$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 2 A - 3 B$

Paso 2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + 2 B$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$0 = 2 A - 3 B$

Paso 2.3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - 2 B$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 2 A - 3 B$ por $1 - 2 B$ .

$0 = 2 (1 - 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.1

Simplifica $2 (1 - 2 B) - 3 B$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = 2 \cdot 1 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 = 2 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.2.2.1.2

Resta $3 B$ de $- 4 B$ .

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.3

Resuelve $B$ en $0 = 2 - 7 B$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 - 7 B = 0$ .

$2 - 7 B = 0$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.3.3

Divide cada término en $- 7 B = - 2$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.3.1

Divide cada término en $- 7 B = - 2$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

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Paso 2.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

Paso 2.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{2}{7}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - 2 B$ por $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 - 2 (\frac{2}{7})$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.4.2.1

Simplifica $1 - 2 (\frac{2}{7})$ .

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Paso 2.3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.4.2.1.1.1

Multiplica $- 2 (\frac{2}{7})$ .

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Paso 2.3.4.2.1.1.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 2.3.4.2.1.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 2.3.4.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 2.3.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.2.1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{7}{7} - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 2.3.4.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{7 - 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 2.3.4.2.1.2.3

Resta $4$ de $7$ .

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{3}{7}, B = \frac{2}{7}$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{3}{7}}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $\frac{1}{2 x - 3}$ .

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Paso 2.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Paso 2.5.4

Multiplica $\frac{2}{7}$ por $\frac{1}{x + 2}$ .

$7 \int \frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7 (x + 2)} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$7 (\int \frac{3}{7 (2 x - 3)} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{3}{7}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{7}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 x - 3} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Paso 5

Sea $u_{1} = 2 x - 3$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = 2 x - 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{3}{7} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{7}$ .

$7 (\frac{3}{2 \cdot 7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$7 (\frac{3}{14} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Paso 10

Dado que $\frac{2}{7}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{7}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Paso 11

Sea $u_{2} = x + 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 11.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$7 (\frac{3}{14} \ln (| u_{1} |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x - 3$ .

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{3}{14}$ y $\ln (| 2 x - 3 |)$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{2}{7}$ y $\ln (| x + 2 |)$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}) + C$

Paso 15.2

Para escribir $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Paso 15.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $14$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.3.1

Multiplica $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2}) + C$

Paso 15.3.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14}) + C$

Paso 15.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14} + C$

Paso 15.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 15.5.1

Factoriza $7$ de $14$ .

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 (2)} + C$

Paso 15.5.2

Cancela el factor común.

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2} + C$

Paso 15.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{2} + C$

Paso 15.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)}{2} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)) + C$