Cálculo Ejemplos

$y = \ln (| \sin (x) |)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sin (x) |))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | \sin (x) |$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $| \sin (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $| \sin (x) |$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2.2

La derivada de $| u_{2} |$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ por $\frac{1}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) | | \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.6

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin (x)}{| {\sin (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.9

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \cos (x)$

Paso 3.10

Combina $\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Reordena los términos.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

Paso 3.11.2

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.11.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ y $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 3.11.3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.11.3.2.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Paso 3.11.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Paso 3.11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.11.4

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \cot (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$