Cálculo Ejemplos

$x^{2} + 5 y^{3} = x + 9$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (x + 9)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x + 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 5 (3 y^{2} y')$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$2 x + 15 y^{2} y'$

Paso 2.3

Reordena los términos.

$15 y^{2} y' + 2 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 3.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.4

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$15 y^{2} y' + 2 x = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$15 y^{2} y' = 1 - 2 x$

Paso 5.2

Divide cada término en $15 y^{2} y' = 1 - 2 x$ por $15 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $15 y^{2} y' = 1 - 2 x$ por $15 y^{2}$ .

$\frac{15 y^{2} y'}{15 y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 y^{2} y'}{15 y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{15 y^{2}} - \frac{2 x}{15 y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{15 y^{2}} - \frac{2 x}{15 y^{2}}$