Cálculo Ejemplos

$\log (1 + x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log (x)$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\log (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (2 x)$

Paso 2.5

Combina fracciones.

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Paso 2.5.1

Combina $2$ y $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (10)} x$

Paso 2.5.2

Combina $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{1 \ln (10) + x^{2} \ln (10)}$

Paso 3.2

Multiplica $\ln (10)$ por $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (10) + x^{2} \ln (10)}$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$