Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2^{4 x}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{4 x}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.1

Reescribe $\frac{1}{2^{4 x}}$ como ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2^{4 x})}^{- 1}]$

Paso 3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [2^{4 x \cdot - 1}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [2^{- 4 x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = - 4 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 4 x$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \cdot 1)$

Paso 3.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \cdot - 4$

Paso 3.3.3.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $2^{- 4 x} \ln (2)$ .

$- 4 \cdot (2^{- 4 x} \ln (2))$

Paso 3.3.3.3

Factoriza el negativo.

$- (4 \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Paso 3.3.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- (2^{2} \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$