Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{3 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{9} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el exponente $9$ de ${(4 x + 1)}^{9}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 4 x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 \cdot 0 + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(0 + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(4 x + 1)}^{9} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = 4 x + 1$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 u^{8} \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.7

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.8

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Suma $36 {(4 x + 1)}^{8}$ y $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8}}{1}$

Paso 2.4

Divide $36 {(4 x + 1)}^{8}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 36 {(4 x + 1)}^{8}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $36$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{8}$

Paso 3.2

Mueve el exponente $8$ de ${(4 x + 1)}^{8}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(lim_{x \to 0} 4 x + 1)}^{8}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)}^{8}$

Paso 3.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{8}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{8}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (12)) {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 12) {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$12 {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Paso 5.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$12 {(0 + 1)}^{8}$

Paso 5.3

Suma $0$ y $1$ .

$12 \cdot 1^{8}$

Paso 5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$12 \cdot 1$

Paso 5.5

Multiplica $12$ por $1$ .

$12$