Cálculo Ejemplos

$y = - {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = - 2 x^{2} + 5 x + 3$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- (4 u^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ .

$- (4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 ({(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3.8

Multiplica $5$ por $1$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 + 0)$

Paso 3.3.10

Suma $- 4 x + 5$ y $0$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$