Cálculo Ejemplos

$\int 4 x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

Paso 2

Expande $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(3 x + 1)}^{2}$ como $(3 x + 1) (3 x + 1)$ .

$4 \int x^{2} ((3 x + 1) (3 x + 1)) d x$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)) d x$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1)) d x$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

Paso 2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

Paso 2.7

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.8

Mueve $x$ .

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.9

Mueve los paréntesis.

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x) x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.10

Mueve los paréntesis.

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3) x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.11

Mueve $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.12

Mueve $x$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1 x) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.13

Mueve los paréntesis.

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1) x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.14

Mueve $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.15

Mueve los paréntesis.

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 3) x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.16

Mueve $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Paso 2.17

Mueve $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.18

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 \int 9 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.19

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \int 9 (x^{2} x^{1}) x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int 9 x^{2 + 1} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.21

Suma $2$ y $1$ .

$4 \int 9 x^{3} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.22

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \int 9 (x^{3} x^{1}) + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.23

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int 9 x^{3 + 1} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.24

Suma $3$ y $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.25

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.26

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.27

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.28

Suma $2$ y $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.29

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.30

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.31

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.32

Suma $2$ y $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Paso 2.33

Multiplica $1$ por $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 x^{2} d x$

Paso 2.34

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} d x$

Paso 2.35

Suma $3 x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$4 \int 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} d x$

$4 \int 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int 9 x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Paso 4

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$4 (9 \int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Paso 6

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 9.1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 9.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{x^{3}}{3} + C)$

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{x^{3}}{3} + C)$

Paso 9.2

Simplifica.

$4 (\frac{9 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}) + C$

Paso 9.3

Reordena los términos.

$4 (\frac{9}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}) + C$

$4 (\frac{9}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$