Cálculo Ejemplos

$4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 9

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 10

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 11

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 11.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 11.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 11.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 11.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{- 2} d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 (- x^{- 1} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x + 3 (- x^{- 1}) + C$

Paso 13.2

Simplifica la expresión.

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Paso 13.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

Paso 13.2.2

Reordena los términos.

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$