Cálculo Ejemplos

$y = \frac{(4 x + 2)}{5 x}$

Paso 1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x + 2}{5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x + 2$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [4 x + 2] - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + 0) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \cdot 4 - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 \cdot x - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.8

Combina fracciones.

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Paso 3.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 x - (4 x + 2)}{5 x^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x - (4 x) - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 x - 4 x - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 x - 4 x - 2}{5 x^{2}}$

Paso 4.2.2

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{0 - 2}{5 x^{2}}$

Paso 4.2.3

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{- 2}{5 x^{2}}$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{5 x^{2}}$