Cálculo Ejemplos

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + \ln (x)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - (1 + \ln (x))}{x^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 5.2.3

Resta $\ln (x)$ de $0$ .

$\frac{- \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\ln (x)}{x^{2}}$