Cálculo Ejemplos

$\arctan (\frac{π}{2} - \frac{t}{10})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \arctan (t)$ y $g (t) = \frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (\frac{d}{d t} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Paso 2.2

Como $\frac{π}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{π}{2}$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$

Paso 2.4

Como $- \frac{1}{10}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{t}{10}$ con respecto a $t$ es $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.5

Combina fracciones.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$ por $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}) \cdot 10} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.5.2

Mueve $10$ a la izquierda de $1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}$ .

$- \frac{1}{10 \cdot (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{10 (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})} \cdot 1$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{10 (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{10 \cdot 1 + 10 {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $10$ por $1$ .

$- \frac{1}{10 + 10 {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$