Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Paso 1

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \csc (x)$ . Entonces $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \csc (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Paso 2.1.3

Reordena los factores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

Paso 2.3

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Paso 2.5

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

Paso 3

Reescribe $- 1 u$ como $- u$ .

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{u^{2}}{2}$ en $1$ y en $\sqrt{2}$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 8.2.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Paso 8.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Paso 8.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Paso 8.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Paso 8.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

Paso 8.2.2.5

Evalúa el exponente.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Paso 8.2.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 8.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

Paso 8.2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Paso 8.2.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Paso 8.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 8.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 \frac{1 - 2}{2}$

Paso 8.2.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$3 (\frac{- 1}{2})$

Paso 8.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{1}{2})$

Paso 8.2.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Paso 8.2.11

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Paso 8.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$- 1.5$

Forma de número mixto:

$- 1 \frac{1}{2}$