Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (x + 3) - \ln (5)}{x - 2}$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x + 3}{5})}{x - 2}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x + 3}{5})}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x + 3}{5})}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $\frac{1}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to 2} x + 3)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (lim_{x \to 2} x + 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (2 + 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x + 3}{5})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 3}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 3}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x + 3}{5}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x + 3}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{5}{x + 3} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.4

Multiplica $\frac{5}{x + 3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{x + 3} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.5

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x + 3}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{x + 3} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x + 3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.6

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{x + 3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{5 (x + 3)} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.7.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{5 (x + 3)} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.7.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.12

Multiplica $\frac{1}{x + 3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 2.3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 2.3.15

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1 + 0}$

Paso 2.3.16

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} \cdot 1$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{1}{x + 3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{2 + 3}$

Paso 5

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{1}{5}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{5}$

Forma decimal:

$0.2$