Cálculo Ejemplos

$e^{x} \cdot e^{x + 1}$

Paso 1

Escribe $e^{x} \cdot e^{x + 1}$ como una función.

$f (x) = e^{x} \cdot e^{x + 1}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{x} \cdot e^{x + 1} d x$

Paso 4

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x + 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{x + x + 1} d x$

Paso 4.2

Suma $x$ y $x$ .

$\int e^{2 x + 1} d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{x} \cdot e^{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$